\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\section*{সমাধান}
\textbf{প্রশ্ন ১:} দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যা নির্ণয়
একটি বহুপদী সংখ্যা দ্বিঘাত হলে তার সর্বোচ্চ ঘাত $2$ হতে হবে। প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ডিগ্রি নির্ণয় করি:
\begin{itemize}
\item $x^2 – 7x + 2$ (ডিগ্রি $2$ → দ্বিঘাত)
\item $7x – x(x + 2) = -x^2 + 5x$ (ডিগ্রি $2$ → দ্বিঘাত)
\item $2x(x+5) + 1 = 2x^2 + 10x + 1$ (ডিগ্রি $2$ → দ্বিঘাত)
\item $2x – 1$ (ডিগ্রি $1$ → দ্বিঘাত নয়)
\end{itemize}
\textbf{উত্তর:} (i), (ii), (iii) দ্বিঘাত বহুপদী।
\vspace{5mm}
\textbf{প্রশ্ন ২:} কোন সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে লেখা যায়
\begin{itemize}
\item $(x – 1) + \frac{1}{x} = 6$ → ভগ্নাংশ আছে, দ্বিঘাত নয়।
\item $x + \frac{3}{x} = x^2$ → $x^2 – x – \frac{3}{x} = 0$ → ভগ্নাংশ আছে, দ্বিঘাত নয়।
\item $x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0$ → $\sqrt{x}$ থাকায় দ্বিঘাত নয়।
\item $(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4 = 0$ → দ্বিঘাত।
\end{itemize}
\textbf{উত্তর:} (iv) দ্বিঘাত।
\vspace{5mm}
\textbf{প্রশ্ন ৩:} $x^6 – x^3 – 2 = 0$ চলরাশি $x^3$-এর ক্ষেত্রে দ্বিঘাত কিনা
পরিবর্তন, $y = x^3$, তাহলে সমীকরণ হয়:
[
y^2 – y – 2 = 0
]
যা দ্বিঘাত।
\textbf{উত্তর:} এটি চলরাশি $x^3$-এর জন্য দ্বিঘাত।
\vspace{5mm}
\textbf{প্রশ্ন ৪:} দ্বিঘাত সমীকরণ রূপান্তর
\begin{itemize}
\item $(a – 2)x^2 + 3x + 5 = 0$ হবে দ্বিঘাত যদি $a – 2 \neq 0$, অর্থাৎ $a \neq 2$।
\item $\frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x}$ থেকে,
[ x(3x) = 1(4 – x) ]
[ 3x^2 + x – 4 = 0 ]
\textbf{উত্তর:} দ্বিঘাত সমীকরণ: $3x^2 + x – 4 = 0$।
\end{itemize}
\vspace{5mm}
\textbf{প্রশ্ন ৫:} সংখ্যা নির্ণয়
\begin{itemize}
\item $42$ কে $x$ এবং $2x$ হিসাবে বিভক্ত করলে,
[ x + 2x = 42 ]
[ x = 14, \quad 2x = 28 ]
\textbf{উত্তর:} 14 এবং 28।
\item দুটি ক্রমিক সংখ্যা $x$ ও $x+1$ হলে,
\[ x(x + 1) = 143 \]
সমাধান করে পাই, $x = 11$, $x+1 = 13$।
\textbf{উত্তর:} 11 এবং 13।
\item দুটি ক্রমিক সংখ্যা $x$ ও $x+1$ হলে,
\[ x + (x+1) = 313 \]
\[ 2x = 312 \Rightarrow x = 156 \]
\textbf{উত্তর:} 156 এবং 157।\end{itemize}
\vspace{5mm}
\textbf{প্রশ্ন ৬:} বাস্তব সমস্যা সমাধান
\begin{itemize}
\item অ্যাথলেটের অর্ধেক দূরত্ব $x$ হলে,
[ (x+3) + (x-3) = 15 ]
[ 2x = 15 \Rightarrow x = 7.5 ]
\textbf{উত্তর:} প্রথম অর্ধেক 10.5 মিটার, দ্বিতীয় অর্ধেক 4.5 মিটার।
\item চিনির দাম $x$ হলে,
\[ \frac{40}{x} - \frac{40}{x+4} = 1 \]
সমাধানে পাই, $x = 8$।
\textbf{উত্তর:} আগের দাম 8 টাকা, চিনি 5 কেজি।
\item ট্রেনের গতি $x$ হলে,
\[ \frac{300}{x} - \frac{300}{x-5} = 2 \]
সমাধানে পাই, $x = 25$।
\textbf{উত্তর:} ট্রেনের গতি 25 কিমি/ঘণ্টা।\end{itemize}
\end{document}